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数学のお話し

直感的には理解不能?誕生日パラドックスとは?

投稿日:2016年8月6日 更新日:

今回は数学的にちょっと難しくなるかもしれませんが、知ると「へぇーそうなんだ!」ってなるような話題です。

その命題とは

同じクラス内に、同じ誕生日の組・ペアができる確率が
50%に落ち着くのは、さて何人ぐらい集まったときでしょう?

こう聞かれたときに、直感的にどのくらいの人数って答えれますか。さすがにそんな少ない人数というわけにはいかないでしょう。

 
同じ誕生日って言っても、1年365日あるわけですから、普通に考えたら10人、20人なんかで同じ誕生日同士のペアができるなんて考えられないですよね。

そう考えたら50%の確率なんで、まぁ365日のうちの180日分くらいの人数で事足りるんじゃないか、つまりだいたい180人前後かな?って考えてしまいがちですよね (;^_^

僕も最初そう考えてました、しかし実際の解答は全く違ってました!

 
では果たして何名の学生が集まると、50%の確率で同じ誕生日同士のペアができるのでしょうか?

高校・大学で確率論を学習してきた人ならこのような確率を計算する場合にはある計算テクニックが必要なのです。

そのテクニックは”余事象“と呼ばれるもので、ある事象Aに対して、Aが起こらない事象を指すものです。

これを利用することで逆算して答えを導けます。

例えば同じクラスに2人の学生がいたとして、その2人の誕生日が異なる確率は、364/365となります。3人に増えたら、

364/365×363/365 となるわけです。

 
ではN人いる時に、そのN人の誕生日全てが異なる確率は?

っと聞かれたら、そのN人の上限は必ず365となるので、誕生日がバラバラとなる確率は上の3人の考えを単純にN人まで拡張して考えます。

N人分全員の誕生日が異なる確率は・・・

分母が365のN乗となり、分子の数は364×363×362×・・・365-(N-1)となるわけです。

 


では本題に戻ると、求めるべき答えは同じ誕生日の2人組存在する確率は、と聞かれているので最低1人でも同じ誕生日の人がいればいいわけです。

ここで余事象を使います。
余事象とは全体の確率100%から、事象Aを引いてそうでない確率を求めたものですから、ここでいう事象AとはN人の誕生日全て異なる確率です。

つまり最低1人でも同じ誕生日の人がいる確率こそ、求める確率となるわけで、全体の確率から事象Aを差し引いてやればいいわけです。

 
よってこの答えが50% = 1/2となればいいので、方程式を解いてやれば N=23 という数字が求められます。

つまり同じクラス内に23人いれば、同じ誕生日同士の組み合わせが出てくる確率が50%となるわけです。

 
いかがですか?
多少説明に不満というか、うまく説明できてない部分もあるかと思いますが少なくとも自分が高校・大学時代に学んできた知識をフルに生かして説明したつもりです (;^_^

直感的に求めた回答とかなり違っていて驚いたのではないでしょうか?
たった23人もいれば同じ誕生日のペアができるのが50%ってうまく納得できないですよね。

けど実際に数学に正しく計算するとこういう結果になっちゃうから驚きですよね \(^o^)/

また同じような考えでこれが99%、つまり実質ほぼ100%の確率で同じ誕生日同士のペアが出てくる確率の人数は70人の時です。

つまり70人も集まれば、自分と同じ誕生日の人間がいると考えて間違いないということです!

 


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